第6策：变径

    每一章节知识点的学习，教材通常提供一条基本的教与学路径，以确保学生顺利达成目标。但细察几十年来的教材编写会发现，许多内容几乎未变。在AI盛行的今天，我们完全有条件查询更丰富的相关资料，打破传统，探索新的学习路径。

    以“平行”的认识为例，多年来教材多通过双杠、笔直的一段火车轨道、黑板或门的对边来引入。但有趣的是，学生学完严格的平行定义及判定方法后，再去检验这些现实事物，往往出现偏差。例如，学生会发现操场上的双杠经数学检验几乎没有严格平行的，还会追问火车弯道是否平行、质疑“两条直线永不相交”的定义。那么，是否存在更好的引入路径呢？答案是肯定的。我们尝试从“水平”路径展开平行学习：（1）让学生在大自然与生活中认识水平面；（2）用一杯水让学生体验：无论杯子放高、放低、正放、斜放，水面始终保持水平；（3）观察两个高低不同的透明杯子，它们的水面始终保持绝对平行；（4）认识水平线——学生在黑板上用半瓶水的矿泉水瓶，在两侧水面处分别点出两点，连接后画出一条水平线；（5）学生在黑板不同高度、位置画出水平线，获得理论上绝对平行的平行线；（6）任意选两条水平线测量左右不同位置的高度，发现处处相等，进一步理解平行线的性质与意义。全景式数学重建的这一平行学习路径，不仅避免了“学习素材本身不平行”的瑕疵，还帮助学生深入理解平行的性质与意义，拓展了“水平”的概念，掌握了画水平线的技能，并在活生生的活动中满足了好奇心，留下了难忘而美好的数学学习经历。

    第7策：变域

    这里的变域指的是改变领域，也就是倡导数学教师从单纯“数学地教数学”的定式或惯性中跳脱出来，置身“庐山之外”，尝试从别的学科、别的领域视角看数学、看数学教学。

    例如，我执教的《和音的秘密》，表面上是用铁盒子创作和音、欣赏和音，骨子里实际上是研究如何把一条“琴弦”按比例分配，在“音乐”这个“域”中不一样地看乐音、看数学。当然，我们也可以变域到美术活动中看见“色彩斑斓”的数学，例如，我们让学生在美术调色小主题活动中感受数学的“搭配”（组合），感受色彩的生成、变化和美：让学生认识到三原色红、黄、蓝两两搭配就会得到三间色：红+黄=橙色、红+蓝=紫色、黄+蓝=绿色，三色混在一起就成了黑色。

    目前，全景式数学团队已经研发出这样的121个跨域主题小活动，初步完成了整个小学阶段6年的系统架构，基本实现了跨领域建设融合性数学课程和教学的常态化。

    第8策：变法

    所谓“变法”的法，不是解决数学题的法，而是学习数学的方法。全景式数学教育主张，数学学习方法的学习应该成为小学数学课程建设、教育教学的基本内容和重要内容；应该把让学生学会学习数学定位为数学教育的一项核心素养。为此，全景式数学教育团队特别关注“数学学法”的发掘、设计和教学。每学习一类新的数学知识，我们就思考它隐含的数学学法是什么？并把它提炼出来成为学生学习的核心线索，而知识学习成了学法学习的“伴生品”。这样，学生既学到了书上编排的数学基础知识，又学到了书上没有的学习这类数学知识的流程和方法。

    例如，国内的国标教材大都在二年级下或者三年级上安排了“长、正方形的认识”这一单元。教参将教学的核心内容定位为：让学生通过看一看、量一量、折一折、比一比，理解和掌握长方形和正方形的特征。全景式数学把它延伸为：“通过长、正方形的学习学会研究所有基本平面图形的一般过程和方法，为后续平行四边形、三角形、梯形等的学习奠基可移植的数学活动经验。”

    研究平面图形的流程与结构如下。

    第一步，明确一级研究项目。引导学生找出构成长方形、正方形的要素（顶点、角、边），确定从这三个方面研究其特征。

    第二步，明确二级研究项目。通过讨论交流，让学生理解“边”可从数量（4条）、形态（线段）、长度及边边关系四个维度进行研究。

    第三步，明确三级研究项目。针对边的关系，需要研究连接方式（首尾相接）、对边关系及邻边关系。

    第四步，明确四级研究项目。无论对边还是邻边，都要研究长度关系（是否相等）和位置关系（是否平行）。

    同理，“角”的二级项目包括数量、度数和关系，三级项目包括对角关系、邻角关系等。

    通过这样的学习活动，学生不仅掌握了长、正方形的特征，也学会了研究所有由线段围成的图形的一般方法。未来，他们可运用这一流程自主研究其他平面图形；即便学习立体图形，也能实现方法结构的迁移与类推（仅需将“边”变为“棱”，并增加“面”这一要素）。这是贯通小学、初中、高中图形学习的通用经验与方法，具备长线、大范围的迁移应用价值。

    （作者系特级教师，河南省长垣市外国语学校教师）